最速降线问题

“想象一个小球,仅受重力,从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点
B。怎样设计这条斜坡,才能让小球在最短的时间内到达点 B?”

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这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题,最早是由著名的意大利科学家伽利略(Galileo
Galilei)于 1630
年提出来的。他在研究后认为最速降线应该是圆弧,但可惜的是这个答案并不是正确的。时间又过了
60 多年,1696 年 6
月,来自瑞士巴塞尔(Barsel,这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡,也是欧拉的故乡,有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的)的约翰・伯努利(Johann
Bernoulli)在《教师学报》(Acta
Eruditorum)上又重新提出这个问题,并向全欧洲的数学家提出公开挑战。这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家,而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。

数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16
世纪在意大利的博洛尼亚(Bologna)。16
世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉,全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。这听起来有些匪夷所思,但在当时确实有大批的观众从各地涌来,围观数学家们互相之间用数学斗法。其中最有名的一次,是在塔塔里亚(Tartaglia)和费奥(Fior)间上演的,是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。

言归正传,在约翰・伯努利发出挑战后的半年里,他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编,他的老师莱布尼茨(Gottfriend
Wilhelm Leibniz)。在莱布尼茨的要求下,他将接受答案的最后期限推迟到 1697
年的复活节,以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。

我们都知道,过两点的直线段是两点间的最短路径。但使质点的运动时间最短的运动轨迹,却不是那么的显而易见。这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。借助微积分,人们可以求出一个函数的极值;但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点,而是要在一簇曲线(过
A、B
两点的所有曲线)中,求出能让质点运动时间最短的那条。这是一个以函数(小球的运动轨迹)为自变量,以实数(小球运动的时间)为函数值的函数,也就是所谓的泛函。我们要求的就是这样一个泛函的极值。正如后文将要介绍的那样,这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。

1697
年的复活节很快就到了,约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。这五份答案分别来自他自己,他的老师莱布尼茨,他的哥哥雅各布・伯努利(Jakob
Bernoulli),他的学生洛必达(Guillaume Francois Antonie de
L’Hospital),还有一位来自英国的匿名数学家。最后这份答案虽然没有署名,但显然出自赫赫有名的牛顿(Issac
Newton)之手。虽然五人的解法各不相同,但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。

恩怨情仇之父子闹翻

丹尼尔•伯努利是约翰次子。他幼时对数学有特别的爱好。他13岁入大学学习哲学与逻辑,后来想进修数学,但他的父亲劝他说数学挣不到钱,建议他经商。不过丹尼尔的脾气很执着,后来父亲不得不让步,也像其父一样先习医,1721年获巴塞尔大学医学博士学位,但在其家族的熏陶感染下,不久便转向数学,在父兄指导下从事数学研究,并且成为这个家族中成就最大者。

1724年,他赴意大利威尼斯,其间在哥特巴赫协助下,发表《数学练习》。书的第二部分是关于流体力学的,说明从那时起他已经对流体力学产生了浓厚的兴趣。这本书立即引起学术界关注,并被邀请到俄国圣彼得堡科学院工作。同年,他还用变量分离法解决了微分方程中的“里卡蒂”方程的求解问题。第二年,25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡科学院数学教授,并被选为该院名誉院士。

1734年,他返回巴塞尔,教授解剖学和植物学和自然哲学.丹尼尔的贡献集中在微分方程、概率和数学物理,被誉之为数学物理方程的开拓者和奠基人。他曾10次获得法国科学院颁发的奖金,能与之相媲美的只有大数学家欧拉。丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士,1748年当选巴黎科学院院士,1750年当选英国皇家学会会员.他一生获得多项荣誉称号。

1734年丹尼尔回到巴塞尔之后,父子两个闹翻了。起因是,那一年丹尼尔提供了一篇关于天文学的论文去应征巴黎科学院的大奖,不巧的是他的父亲约翰也提交了应征那次大奖的论文,结果是两个人都获奖来分享那次大奖。这件事激怒了约翰,认为是儿子预先设计了一个圈套要与他平起平坐。事后丹尼尔回到他父亲的家时被拒之门外。后来一直到死,约翰也没有谅解他的儿子。这件事有可能影响后来丹尼尔没有在数学上的学术进取,再也没有他在彼得堡时对严格数学的那种激情。他说过:“如果地球上没有数学家,真实的物理也许会更好。”

如果说,在父子反目之后,丹尼尔有意回避他父亲约翰的研究领域,对数学的热情降低了许多。而相反约翰却有意去进入丹尼尔所熟悉的流体力学领域。

在大约1739年或稍后,约翰出版了一本《水力学》(hydraulics),不过注明的出版时间有意放在丹尼尔的《流体动力学》出版日期1738年之前的1732年。他这样做的目的是要人相信似乎丹尼尔的书是抄袭他的书而来的。后人评论约翰的书是一本典型的抄袭之作。

在约翰的书中,他是想尽量从牛顿的原理直接进行推演,以说明他的独立著作,不过书中有相当多的部分是取自丹尼尔书的内容。大部分结果也并没有超出丹尼尔的书。

约翰虽然在家族争斗中很牛逼,但是也还是有被人坑的时候。

说摆线是几何学中的海伦,一方面是因为这条曲线本身确实很优美,从数学的角度来说,她有着很多美丽的特性,比如摆线的长度是生成它的圆的直径的四倍,又比如摆线下方的面积是生成它的圆的面积的三倍。和最速降线相关的特性是,如果在摆线上任意多点上摆放多个小球,同时松开小球,所有的小球将同时到达底部。

自然对数的底e是一个令人不可思议的常数,一个由lim (1+1/n) n
定义出的常数,居然在数学和物理中频频出现,简直可以说是无处不在。这实在是让我们不得不敬畏这神奇的数学世界。

同一个答案

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所谓摆线(cycloid),就是当圆沿一条直线运动时,圆周上一定点所形成的轨迹。其实当时的数学家对这种曲线并不陌生,帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但大部分人都没有想到,这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。

而我们大家对摆线也不陌生。还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗?一块塑料板上开着几个圆形的大洞,还有几块较小的圆形塑料片,不同半径处留有一些孔。把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中,再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动,就能在纸上留下各种美丽的曲线。这些曲线也都是摆线,只不过是另一种被称为“内摆线”(hypocycloid)的摆线。它们是由给定圆在另一个圆内运动时,圆周上一定点形成的轨迹。

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恩怨情仇之兄弟反目

约翰•伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)和他的哥哥雅各布•伯努利(JakobI.
Bernoulli,1654-1705)都为微积分的发展作了杰出贡献。约翰进入巴塞尔大学时,比他大13岁的雅各布已经是数学系教授,因此,约翰向大哥学习数学。两人既是兄弟手足,又是导师和学生的关系。

约翰天资聪明,拜大哥为师的两年之后,数学能力就达到了与哥哥能一比高低的水平。没想到智力水平的高低并不等价于人品和修养的高低,约翰不服雅各布,雅各布却仍然将弟弟看成一个学生,两兄弟之间逐渐形成了一种不十分友好的竞争状态。约翰十分妒忌雅各布在巴塞尔大学的崇高地位,于是,无论在私底下,还是在大庭广众中,两人经常互相较劲。

不过,世人可以不齿于他们互相嫉妒诋毁的人格,却不能否认他们这种竞争较劲的状态,还算有利于学术。从下面的几个例子,便是对以上说法的佐证。

那个时代的欧洲数学家,有一股互相出难题来挑战学术界的风气。1691年,哥哥雅各布建议数学家们研究悬链线(Catenary)问题,也就是两端固定的绳子(或链条)由于重力而自由下垂形成的曲线到底是个什么形状的问题。这个问题现在看起来简单,但在微积分和牛顿力学尚未建立以及刚刚建立的年代,却是不容易解决的。

伽利略在1638年就曾经错误地猜测悬链线是抛物线,后来(1646年),17岁的少年惠更斯证明了悬链线不是抛物线。但不是抛物线,又是什么线呢?它的方程是怎么样的?当时谁也不知道答案。悬而未决的悬链线问题在等待着微积分的到来。

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图1:悬链线问题

雅各布收到了好几个答案,其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟约翰•伯努利。他们成功地用微积分解决了这个问题,证明了悬链线是如上图中所示的公式所描述的双曲余弦函数。

因为这个问题的成功,骄傲自负的约翰得意非凡,认为这是他在兄弟之争中的辉煌胜利,并更加瞧不起这个他认为“愚笨”的哥哥。约翰在多年后写给朋友的一封信中,还津津有味地描述了当时掩饰不住的“赢了哥哥”的狂喜心态。

其实,雅各布的数学成就并不逊色于弟弟,他活得没有弟弟长,50岁就去世了。约翰活到了80岁。雅各布短短的学术生涯中,对微积分及概率论作出很多贡献,其中最为众人所知的是“大数定律”。此外,数学中有许多以伯努利命名的术语,其中十几个都是雅各布的功劳。

1696年,約翰也对欧洲数学家提出了一个挑战难题,那就是著名的最速降落轨道(Brachistochrone
curve)问题,也就是:什么形状的滑梯,才能使得滑动者到达地面的时间最短呢?这实际上是一个著名的数学问题,微积分方法的出现促成了它的解决,并由此而开拓了一门与物理学紧密联系的新的数学分支:变分法和泛函分析。

假设A和B是地面上高低不同(A不低于B)左右有别的两个点,如下图左图所示。一个没有初始速度的小球,在无摩擦力只有重力的作用下从A点滑到B点。从A到B的轨道可以有很多很多,各自有不同的形状和长短,见下图中间一图。问题是:这其中的哪一条轨道,将使得小球从A到B的时间最短?

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图2:最速降落问题

如果问的是距离最短,大家在直观上都知道答案是直线,但现在是要你求出所花时间最短的曲线,直观就不太顶用了。

有人估计约翰自己当时已经得出了这个问题的答案,而提出这个问题的目的之一是挑战牛顿,其二则是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是约翰的嫉妒心所致,为啥又要挑战牛顿呢?原因是在牛顿与萊布尼茨对微积分发明权的争夺战上,约翰是始终坚定地站在自己的老师萊布尼茨一边的。

约翰原来规定答案必须在1697年1月1日之前寄出,后来在萊布尼茨的建议下,将期限延长至复活节。期限延长后,为了确保牛顿得知此事,约翰亲自将问题单独寄了一份给他。牛顿毕竟是大师,当时已经年过半百,正在繁忙于他的改铸新币的工作,自己也承认脑瓜子已经大不如年轻时机敏。但无论如何,据说牛顿在下午4点钟收到邮件后,仅仅用了一个晚上便解决了这个问题,并且立即匿名寄给了约翰。

这使约翰大为失望,因为他自己解决这个问题花费了两个星期的时间。虽然牛顿未署真名,约翰仍然猜出了是他,并且也不得不佩服地说:“我从利爪认出了雄狮!”(Irecognize
the lion by his paw)。

复活节时,约翰共收到五份答案:除了约翰自己和牛顿的之外,还有莱布尼兹、法国的洛必达侯爵、以及他的哥哥雅各布。

尽管牛顿的才能使约翰沮丧,他仍然得意地认为自己的方法是所有答案中最简洁漂亮的,而认为他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛顿等其余三人用的是微积分方法,在此不表。伯努利弟兄方法的差别何在呢?
约翰的答案简洁漂亮,是因为他借用了光学中费马的光程(或时间)最短原理。

法国数学家费马(Fermat,Pierrede,1601-1665)是个很奇怪的学者,他是法院的法律顾问,算是个业余数学家。他的特点是不怎么发表著作,经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记,或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来,即使是这种草率注记中的三言两语,已经使世人震撼忙碌不已,要是费马正儿八经地专门研究数学,那还了得?

例如,1637年,费马在阅读《算术》一书时,曾写下注记:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下……”。就是这一段短短的注记,后来被称之为“费马大定理”的猜想,就困惑了数学家们整整358年!

费马研究光学时发现,光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理,是几何光学的基础,可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上,费马原理现代版的更准确表述应该是:光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之,光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上,有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子,但在当时,人们尚未认识到这点,也没有进行详细的理论研究。

约翰·伯努利毕竟脑瓜子灵活,将费马原理信手拈来,把小球在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播,导出了最速落径问题中那条费时最短的路径所满足的微分方程。这个微分方程的解,实际上就是同时代的惠更斯曾经研究过的“摆线”(沿直线滚动的圆的边界上一点的轨迹)。或者说,最速落径就是倒过来看的摆线,见图2中的右图。

约翰很得意地将最速落径问题中的物体类比于光线,貌似轻而易举地解决了问题,也得到了正确的答案(图3a)。用现代物理学对光的理解来审查约翰的解法,光和物体的确可以类比。但在当时,约翰的方法恐怕只能算是一种投机取巧,因为他完全没有证据来说明这种做法的正确性。

雅各布·伯努利的方法虽然被约翰看不上,认为太繁复,但却在繁复的推导中闪烁出新的变分思想的光辉。雅各布没有使用像现成的费马原理这类的东西,而是从重力运动下小球遵循的物理和几何规律来仔细推敲这个问题。他首先假设小球是沿着一条时间最短的路线下滑的,然后考虑:如果在某个时刻,小球的路线稍微偏离了这条时间最短的路线,走了别的什么路径的话,会发生什么情况呢(图3b)?

大家可以注意到,上述雅各布的做法已经是一种变分的思想,因为他是在考虑所有微小偏离路径中使得时间最小的那个偏离。然后,雅各布用二阶导数的方法证明了,在这种情形下,为了使小球继续走时间最短的路,它的路线的微分偏离量,dx和dy,应该满足的方程,就正好是摆线所满足的微分方程。

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图3:两兄弟的方法

从图3中可粗略看出,约翰简单地使用费马折射定律,雅各布用考虑二阶导数的“繁琐”方法,最后都导致了同样的公式,即图3a和图3b中间的方程,解决了最速落径问题。

伯努利兄弟的你争我斗推动了变分法和泛函分析的发展。没过几年,哥哥雅各布就去世了。看来,约翰是过不了没有竞争对手的日子,他继而又把对雅各布的嫉妒心转移到了自己的天才儿子丹尼尔•伯努利的身上。

2.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%91%86%E7%BA%BF\#/media/File:Cycloid\_f.gif

正态分布

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正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布,尽管这些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量,那么这个变量服从正态分布。

正态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量,测出来的值一般来说总是呈正态分布;瓶装可乐的实际体积,也是正态分布;一大群人的寿命分布、智商分布等,也都是正态分布。而正态分布的表达式中,也神奇的出现了e。

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不同的解法

让我们回到众人给出的最速降线的解法上。莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了。

约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他利用了费马原理(Fermat’s
principle),将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又叫做“最短光时”原理,说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。那么,“最速降线”就是在光速随高度下降而增加(加速度恒为重力加速度
g)的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想,约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。

这种解法出人意料地用到了费马原理,实在是太巧妙了!在物理学中,费马原理被认为是“最小作用量原理”(principle
of least action)在几何光学中的特例。
而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律,甚至被称为“物理定律的定律”。

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不知你想过没有,当我们将一个小球抛出后,它为什么会沿着所谓的抛物线运动?你可能会说,因为小球只受重力作用,根据牛顿第一定律,它在水平方向上速度恒定不变;而根据牛顿第二定律,它在竖直方向上做匀变速运动。这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。

这确实不错,但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。从整体的角度考虑,小球在被抛出后,为什么不沿着其他的路径运动,却总是沿着抛物线运动呢?同样,我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后,会发现只有在沿着抛物线运动时,小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分(这就是所谓的“作用量”)才是最小的。注意,在这里我们同样是在一簇曲线中,求出一条曲线使得某个量达到极值。这种在一簇曲线中,求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。也就是说,我们又是在用变分求泛函的极值。

再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦,但他的解法更具有一般性,体现了变分的思想。约翰的学生,伟大的数学家欧拉吸收了这一思想,并从
1726 年开始发表相关的论文,最终于 1744
年首先给出了这类问题的解法,并创立了变分学这一新的数学分支。投资者用它来计算最大利润,工程师用它来计算最小损耗,建筑师用它来优化架构。它成为了微积分理论中最强大的工具之一。

瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的科学世家,出了好几个有名的科学家,驰骋影响学界上百年。学物理的人都知道流体力学中有一个著名的伯努利定律,说的是有关不可压缩流体沿着流线的移动行为,由丹尼尔•伯努利(DanielBernoulli,1700-1782)提出。丹尼尔的父亲和伯父则都是他们那个时代著名的数学家。

好在科学并不以科学家之间的个人恩怨为转移,四份解答,加上约翰・伯努利自己的解答,全都指向了最速降线的正确答案——摆线。

伽马函数与斯特林公式

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阶乘运算n!本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广,因此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候,我们要寻找的函数就是一条通过了所有(n+1,n!)点的函数。所谓的伽马函数Γ(x)满足了这个性质,而伽马函数的表达式中又出现了e:

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阶乘n!与e还有另一层神秘的联系。

当n趋于无穷大的时候,n!满足下面的近似关系式——斯特林公式:

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(其中“~”符号表示同阶,可以大致认为是n趋于无穷大时的约等于)

要计算很大的阶乘值,位数受限而不能直接用计算机求出时,就可以用斯特林公式近似求出了。

最近在看名人介绍,突然看到了一篇文章介绍伯努利家族,觉得他们家族那两代人特别有意思,就想写出来,让大家都知道。

群里有直接说不会做的朋友,他们的孩子大多还小,还在忙于跟进小学三四年级的奥数题、或者忙于准备小升初的材料。有选C的朋友,他们要么孩子正在读初中,要么还能从自己遥远的记忆中依稀找到初中物理速度分量的概念。

调和级数

所谓调和级数,即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…。它是一个发散级数,当n趋于无穷大的时候,这个和也将趋于无穷大。但是同样是发散的级数,发散也有快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢?伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了答案:

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因此调和级数的发散速度正是和以e为底的对数——ln函数的发散速度一致。

有意思的是,伯努利家族这几个科学家之间,相处得并不和谐。互相在科学成就上争名夺利、纠纷不断。尤为后人留下笑柄的是丹尼尔的父亲:约翰•伯努利。

现在,约翰・伯努利手头上有了四份答复,分别来自于他同为数学家的哥哥雅各布・伯努利(Jakob
Bernoulli),跟随他学习微积分的学生纪尧姆·德·洛必达(Guillaume François
Antoine, Marquis de
l’Hôpital),他的微积分老师莱布尼茨,以及一封来自英国的匿名解答。

欧拉恒等式

但凡说起e,一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。

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数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i,以及数学中最基本的两个符号,等号和加号,就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起,实在是让人叹服。

这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示,旋转这个向量,就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴,虚数为纵轴的坐标系。实单位向量,每次逆时针旋转π/2,
可以分别得到结果1,i,-1,-i,1.
即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度,得到的向量就是:cosθ+isinθ。根据欧拉公式
e = cosθ+isinθ可以看出 e
就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 e
意味着单位向量逆时针旋转了π,结果显然是-1。

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恩怨情仇之发明之争

约翰与另一位数学家洛必达之间也有一段纷争,因为众所周知的“洛必达法则”,实际上是约翰·伯努利发现的。这是怎么回事呢?

原来,洛必达是一个贵族,业余时间喜欢搞一些数学,几乎到了上瘾的地步。甚至不惜花重金聘请当时的大数学家伯努利兄弟给他长期辅导。

可惜他的才气远远不如他的财气。虽然十分用功,但他在数学上仍然没有什么建树。贝努利兄弟当时正与莱布尼兹这样的大数学家交流合作,所以总有最新成果教给洛必达。这些最新成果严重地打击了他的自信心。一些他自己感到很得意,废寝忘食搞出来的结果,与伯努利兄弟教给他的最新结果比起来只能算是一些简单练习题,没有丝毫创意。

另一方面,这些新结果又更激起了他对数学的着迷。他继续请伯努利兄弟给他辅导。甚至当他们离开巴黎回到瑞士以后,他还继续通过通信方式请他们辅导。

如此持续了一段时间,他的“练习题”中仍没有什么可以发表的东西。他内心深处越来越丧气,却又不甘心。心想,我对数学如此热心,一定要想办法在数学上留下一点东西让人记住我的名字。

终于有一天,他给伯努利兄弟之一的约翰写了一封信,信中说:
很清楚,我们互相都有对方所需要的东西。我能在财力上帮助你,你能在的才智上帮助我。因此我提议我们做如下交易:我今年给你三百个里弗尔(注:一里弗尔相当于一磅银子)。并且外加两百个里弗尔作为以前你给我寄的资料的报答。这个数量以后还会增加。

作为回报,我要求你从现在起定期抽出时间来研究一些固定问题,并把一切新发现告诉我。并且,这些结果不能告诉任何别的人,更不能寄给别人或发表……

约翰收到这封信开始感到很吃惊。但这三百里弗尔确实很吸引人。他当时刚结婚,正是需要用钱的时候。而且帮助洛必达,还可以增加打入上流社会的机会。约翰想,洛必达最多不过就是拿这些结果到他的朋友那里去显示一下,没什么大不了的。算盘打下来,这笔交易还是比较化算的。于是,他定期给罗毕塔寄去一些研究结果。

洛必达都细心地研究它们,并把它们整理起来。一年后,洛必达出了一本书,题目叫《无穷小量分析》(就是现在的微积分)。其中除了他的“练习题”外,大多数重要结果都是从约翰寄来的那些资料中整理出来的。他还用了一些莱布尼兹的结果。他很聪明地在前言中写到:我书中的许多结果都得益于约翰·伯努利和莱布尼兹,如果他们要来认领这本书里的任何一个结果,我都悉听尊便。

伯努利拿了人家的钱当然不好意思再出来认领这些定理。这书中就包括了大家熟知的定理洛必达法则。伯努利眼睁睁看着自已的结果被别人用却因与人有约在先而说不出来。洛必达花钱买了个青史留名,这比后来的人花钱到某某大学买个学位划算多了。

当然伯努利不愿就此罢了。洛必达死后他就把那封信拿了出来,企图重认那越来越重要的洛必达法则。现在大多数人都承认这个定理是他先证明的了。可是人们心中先入为主的定理名字恐怕是再也变不回来了。

祖上从比利时安特卫普迁往瑞士的伯努利家族在十七世纪十八世纪一共培养出了八位著名的科学家或数学家,然而荣誉之争、口舌之战却发生在亲兄弟和亲父子之间,也是可悲!

素数与e

素数(或称质数)是指除了1和它本身之外,无法被其他自然数整除的数。素数看似和e毫无联系,可是,素数分布的理论指出,素数的分布与e息息相关。如果用π(x)表示不大于x的素数个数(注意这里的π不是圆周率!),那么素数分布中心定理指出

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或者可以写成

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注意到ln正是以e为底的对数。看,e就这样出现在了看似毫无关系的领域!

小结

听完这个故事,下次见到各种伯努利定理,就倍感熟悉了。

参考资料:

  1. 《数理同源》-3-哪条路径最快?
  2. 伯努利父子的恩怨
  3. 洛必达法则是约翰·伯努利的成果!

1697年复活节之约的五份解答都得到了关于最速降线的正确答案,但伯努利兄弟俩都坚持自己是第一个得出答案的人。兄弟俩互相指责对方剽窃了自己的成果,为此两人争吵了很多年,后世认为虽然约翰的解答比较巧妙,但雅可布的解答要更为完备和准确。再后来,约翰・伯努利和他的天才儿子丹尼尔·伯努利在流体力学方面的成果也展开了争夺,后者最终保卫了自己“伯努利定律发明者”的荣誉。

悬链线

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数学史上曾经有一个著名问题,称之为悬链线问题:一根柔软不可伸长的链子,两头固定在空间中的两个定点上(这两个点不一定要等高),链子形成的曲线是怎样一条曲线呢?这个问题和最速降线问题提出的时间很接近,而且参与者也大多相同。早在文艺复兴时代它就已经被达芬奇研究过,可惜并没有得到答案。伽利略猜想答案是抛物线,这也和很多人最初的感觉是一致的,可惜后来被惠更斯在17岁的时候证明是错的。

和最速降线问题一样,这一问题伯努利兄弟中的一个也曾公开征集解答,不过这次是哥哥雅各布,他在1690年的《教师学报》中发表了这个问题。在雅各布提出这一问题一年后的1691年6月,《教师学报》发表了惠更斯(当时已经62岁)、莱布尼茨以及约翰•伯努利提交的三份正确答案。三人的方法都不一样,但最终的结果却是一致的。而雅各布自己则并没能把它解出来,这让弟弟约翰•伯努利异常兴奋。

悬链线的正确方程是这样的:

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它的发现在当时被看做是新微积分伟大成果的重要标志。而现在,悬链线则在世界著名的标志性建筑物——密苏里的圣路易斯大拱门——中永垂不朽了。

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e一次次如幽灵般恰当的出现在了每一处,时常给人们带来惊喜。而上述这些,只不过它的冰山一角而已。

二、

增长规律

这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律:增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候,衰变率就和现存的放射性物质多少成正比;资源无穷多的社会,人口出生率将(近似的)和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解,则是由以e为底的指数增长所描述的:如果x的变化率等于变量x自身的λ倍,那么该变量随时间t的函数则为

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其中C是任意常数。而e的直观含义正是增长的极限,这个问题在
数学常数e的含义
中有过详细的介绍。

与希腊神话中的海伦不同,“几何学中的海伦”在现实生活中随处可见。

“不用看都知道,这匿名解答来自于牛顿。”约翰・伯努利十分肯定。因为牛顿和莱布尼茨在微积分理论上的一些分歧,以及莱布尼茨和约翰・伯努利之间的师生关系,很显然牛顿不愿意以正常方式参加这次伯努利主持的公开挑战。

三、

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如果轨道不是下凹形而是上凸形,那么b球将始终慢于a球,且存在初始动能不足以越过轨道高点势能阱的可能。

摆线上所有小球同时到达底部。【3】

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